微分几何最核心的概念——流形，所有的几何研究都必须在流形上进行

发布日期：2025-02-04 13:51    点击次数：51

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想象空间中有一个点，它在所在的空间中移动。可以通过简单地绘制它经过的路径来追踪其轨迹，从而形成一条曲线。由于曲线位于屏幕的平面上，因此可以将坐标系的原点设置在任意位置。

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接着，对曲线进行参数化。参数 t 的作用类似于时间，但不一定是时间。不过，将其视为输入是有用的，而点的坐标所表示的向量则是输出。因此，对于每个输入值 t，都有一个位置的输出值。这不仅使得绘制由路径形成的曲线成为可能，还能够对曲线进行微积分运算，包括计算极限、导数、积分等。这一切之所以可能，是因为这条曲线接受来自欧几里得空间的输入（R），并返回相应的输出（R^2）。换句话说，它是一个从欧几里得空间R到欧几里得平面或曲面R^2的映射。

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但是，如果我们告诉你，实际上，这一切都发生在一个曲面上，而我们只是因为离得太近，无法感知到周围空间的曲率，所以才误以为它是平的呢？

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如果这是真的，情况就很糟糕了。因为我们刚刚做的所有微积分运算——极限、导数、积分等——都是错误的。我们不能再进行微积分了，因为我们现在发现，实际上 是一个从欧几里得平面 映射到非欧几里得曲面M的映射。我们通常把这个空间称为流形。

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非欧几里得空间并不是不能进行微积分运算，而是因为其空间具有曲率，导致传统的欧几里得微积分方法不再适用。在非欧几里得空间中，微积分需要依赖曲率影响的度量张量和黎曼几何等工具，进行适应曲面弯曲性的运算。例如，曲线长度、面积计算以及导数和积分的定义都需要考虑空间的弯曲特性，因此微积分运算在这些空间中更加复杂。并不十分严谨地说，流形是一个一维、二维、三维甚至 n 维的空间，它可能有曲率，也可能没有曲率。 但最重要的是，它在局部看起来像欧几里得平面。 一个非常好的例子是地球。我们无法通过站在地球表面上来感知地球的曲率，因为在局部看起来是平的。所以，我们说地球在局部是一个欧几里得空间，或者简单地说，是一个流形。无论如何，现在我们面临一个非常特殊的情况：我们感兴趣的路径曲线存在于流形中。而最难以直观理解的部分在于，这个流形并未嵌入在任何其他空间中。当然，在屏幕上展示这一点非常困难，但你只需理解，这个流形本身就是一个独立的空间，它不需要依赖于更大的空间才能存在。从数学的角度来看，我们称之为未嵌入到更高维空间中的结构。那么，我们该如何解决这个问题呢？我的意思是，我们仍然希望能够在流形上进行微积分。而这正是微分几何（DifferentialGeometry）的用武之地。这个学科为我们提供了实现目标所需的所有工具。现在，我们已经从直观角度理解了当前情况，并清晰地阐明了要解决的问题。接下来，让我们将讨论提升到更高的层次。想象一个抽象的流形 M，其维度为n，它并没有嵌入到像 R^n这样的高维空间中。

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然后，选取流形中的一个点 p，在该点p的小邻域U中，可以定义一条经过p的参数化曲线，称为 γ(t)，它从实数区间 [a, b]映射到流形M。在M 中，曲线的像是区间 γ(a) 到 γ(b)。我们还要求整个曲线都位于邻域U内。接下来，定义一个映射Φ从流形的邻域U映射到 R^n，

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其中n是流形M的维度，也是欧几里得空间R^n的维度。由于我们可以创建复合映射

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它将实数区间 [a, b]映射到 R^n，因此我们也可以在这里进行微积分运算，因为这是一个从一维欧几里得空间映射到n维欧几里得空间的映射。那么，我们所说的微积分究竟是什么意思呢？稍后我们会看到，但首先有一些重要的提示：流形M不能使用传统的X，Y、Z 等欧几里得坐标来描述，因为它不一定嵌入在R^n中。因此，我们需要定义流形的内在坐标u、v,这些坐标将作为一种网格，用来测量流形上各点之间的距离。

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为了测量距离，必须定义一个度量。顺便提一下，当应用于广义相对论时，度量通常定义为g，它描述了流形上的引力。另一个重要的知识点是，映射Φ从流形邻域U映射到R^n被数学家称为局部坐标图，而物理学家称其为坐标系。现在来看一个具体例子：有一个抽象的二维流形M，它是一个抛物面形状，但并不嵌入到R^3中。

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选取流形M 中的一个点p，让U为p的一个小邻域。这个邻域U允许我们在流形上局部工作。我们不能使用传统的欧几里得空间坐标，而是使用内在坐标u、v来描述它。定义一个参数化曲线 γ从 [0,10]区间映射到流形 M，它是流形上的一条曲线。

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区间[0,10]作为参数t的定义域，而γ的像是流形上的曲线。令曲线的弯曲度 γ(t)由内在坐标u(t)和 v(t)来表示，

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其中u(t) 定义为t，而v(t)=t^2。这里u(t)、v(t) 表示曲线γ在流形上的内在坐标系统中的坐标，但我们还没有讨论这些内在坐标u、v在流形M上的全局表现形式。内在坐标就像流形上的网格，在这个例子中，我们选择这个网格来表示流形上的方向和距离，类似于极坐标或测地坐标，它们随着我们在表面上的移动而平滑变化。接下来，定义一个映射Φ从U到 R^2，它将流形上的邻域U映射到 R^2 中，Φ(u,v)被定义为

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这是一个非常简单的映射，将内在坐标u、v直接映射到 R^2。现在，我们将Φ与曲线 γ 组合，得到复合映射

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它将区间 [0,10] 映射到 R^2。在这种情况下，φ∘γ(t)的结果是 (t, t^2)，它是 R^2 中的一个抛物线。这是一个从一维欧几里得空间R到二维欧几里得空间 R^2的复合映射，因此我们可以在它上面进行微积分运算。第一个运算是微分。复合映射 φ∘γ 的导数是其坐标的导数，结果是向量 (1, 2t)。

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这是从 t=0到 t=10的切向量。如果t代表时间，那么这个向量就是曲线 γ上每一点的线性或切向速度。但即使从视觉角度来看，这也没有意义，因为流形是弯曲的，而向量是直线的。当然，假设我们使用最简单的向量视图——箭头表示法，那么切向量就会从流形M 上“突出来”。但这种表示方式同样是没有意义的，因为我们已经说过流形并没有嵌入到更高维的空间中，所以在流形M 外部绘制任何东西都是没有意义的。相对于流形而言，没有所谓的外部世界。因此，这里的表示方法实际上是错误的。此时，可以说切向量 (1,2t) “生活”在映射 Φ 的目标空间 R^2中，但这也不完全正确。切向量实际上生活在这样的切空间中，

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这实际上是 R^2的另一个独立副本。注意到，当 t=0时，切向量 (1,0) 是流形M上初始点γ(0) 处的切向量，或者说是速度向量。而当 t=10时，切向量 (1,20)是流形M上点γ(10)处的切向量。还可以看到，切向量沿着曲线 γ 从初始点到最终点线性增加。第二，切向量的大小和积分：切向量的大小，或称“弧长”，是这个：

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为了找到曲线 γ(t)=(t, t^2) 在 R^2 中从t=0到 t=10的弧长，我们对切向量的大小在该区间上进行积分,

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这个积分表示了路径 t，t^2在 R^2中的长度，可以通过如下方式求解。我们首先进行变量替换，设

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因此它的导数是

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这样可以将积分写成如下形式，

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此时，可以使用以下三角不等式：

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因此，可以将积分写成这样的形式

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接下来使用的三角恒等式是：

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在当前表达式中使用这个公式后，得到如下形式，

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回到 t=1\2sinh⁡(θ) 的定义，可以通过逆运算将 θ 用 t 表示出来，并得到以下关系式,

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为了简化计算，在第二项中使用另一个三角恒等式：

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我们可以计算第一项并将此替换应用于第二项。接下来，注意到

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所以第二项中的二可以消掉，并再次使用我们之前得出的两个事实，即

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最终得到如下近似值：

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这是曲线 t，t^2在 R^2中的近似长度。第三，曲率：为了得到路径t，t^2 在 R^2中的曲率 κ，使用如下公式，

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其中

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让我们计算一下。这个曲率描述了曲线在 R^2 中每个点的弯曲程度。当t趋近于零时，κ(0)=2，这意味着曲线在起点的弯曲度是最大的。而当t趋近于无穷大时，κ(t) 趋近于零，这意味着曲线会随着远离原点而逐渐变平。 本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。